Вывод типов при вызове обобщенных методов с лямбдами и перегрузкой функций

Алгоритм Хиндли-Милнера

Алгоритм Хиндли-Милнера предназначен для вывода типов при наличии ограничений

Для компиляции он важен когда мы выводим типы параметров в вызове обобщенной функции, при этом в качестве параметров фигурируют ляибда-выражения.

Алгоритм Хиндли-Милнера описан в Пирсе, с.343.

Его суть состоит в следующем. Имеется множество ограничений на типы C, записываемое в виде равенств вида:

C { Si = Ti }

Требуется найти для этого множества ограничений наиболее общий унификатор.

Унификатором множества ограничений

C { Si = Ti } 

называется типовая подстановка σ, такая что для каждого уравнения

S = T 

в множестве C выполняется

σ(S) = σ(T)

Напомним, что для типовой подстановки выполняется

σ(X → Y) = σ(X) → σ(Y)

Примеры

Пример 1.

C { X = int, Y = X → X } 

Нетрудно видеть, что типовая подстановка σ имеет вид:

[ X ↦ int, Y ↦ int → int ]

Пример 2.

C { X = Y → X }

Поскольку X находится и в левой и в правой части, то решения (подстановки) нет.

Пример 3.

C { X = Y → Z, Y = Z → X }

После подстановки второго уравнения в первое получаем

X = (Z → X) → Z

Поскольку X находится и в левой и в правой части, то решения (подстановки) нет.

Пример 4.

C { int → Z = X → Y }

Подстановка

σ' [ X ↦ int, Y ↦ bool, Z ↦ bool ]

превращает равенство в C в тождество и потому является унификатором. Но она не является наиболее общим унификатором. В данном случае наиболее общим унификатором является подстановка

σ [ X ↦ int, Y ↦ Z ]

Определение. Наиболее общим унификатором системы типовых уравнений C называется подстановка σ такая что любой другой унификатор σ' имеет вид:

σ' = γ • σ 

для некоторой подстановки γ.

В данном примере

γ = [ Z ↦ bool ]

Ограничения равенства типов при компиляции

Откуда берутся ограничения равенства при компиляции дженериков?

Рассмотрим конкретный пример

Пусть определена функция

p<X,Y>(f: X → Y, z: X)

и мы вызываем

p(x->x*x,3)

Тогда уравнения для типов возникают при сопоставлении формальных и фактических параметров.

Поскольку у лямбды типы параметров и возвращаемого значения не определены, то будем нумеровать их l1,l2 и т.д. Таким образом, тип лямбды в нашем случае - l1 → l2

Итак, в результате сопоставления формальных и фактических параметров получаем систему типовых уравнений C:

{ X → Y = l1 → l2, X = int } (*)

Нам надо вывести все неизвестные: X,Y,l1,l2, выразив их через известные типы. Соответствующий общий алгоритм носит название алгоритма Хиндли-Милнера. Пока сделаем это вручную.

Упрощаем:

{ X = l1, Y = l2, X = int }

Итак, X выражено через конкретный тип, и мы можем подставить его в остальные уравнения:

{ l1 = int, Y = l2, X = int }

Таким образом, мы получили подстановку

σ[ l1 ↦ int, Y ↦ l2, X ↦ int ]

которая унифицирует нашу систему уравнений (*)

Заметим, что тип l2 мы пока не вывели и пока не задействовали еще одно условие - тело лямбды. Итак, если какие-то типовые переменные остались не выведены, то необходимо задействовать тело лямбды. Как?

Напомним, что λ-выражение

x->x*x

имеет тип

l1 → l2

причем уже получено, что l1=int

Принимая это предположение, выводим тип тела лямбды: x*x: int

Отсюда получаем недостающее равенство:

{ l1 = int, l2 = int, Y = int, X = int }

и соответствующую подстановку.

Реальный пример

Пример 5. В коде .NET в качестве типов (будем обозначать их буквами X,Y) могут быть:

• типовые переменные
• конкретные именованные типы (int, double)
• типы вида C<X> или I<X> (C - имя класса, I - имя интерфейса)
• функциональные типы X → Y

Приведем реальный пример с типами третьего вида.

var a: array of string;
SelectMany(a,x->x.Split());

Функция SelectMany имеет следующий прототип:

SelectMany<X,Y>(a: IEn<X>,f: X → IEn<Y>): IEn<Y>;

Здесь IEn - это IEnumerable и метод расширения SelectMany записан не в принятом в .NET виде

a.SelectMany(x->x.Split());

а с переносом объекта, вызвавшего SelectMany в качестве первого параметра SelectMany (для удобства и без нарушения общности)

Попытаемся понять, какая здесь возникает система ограничений на типы, как их выводить в процессе унификации,

Система уравнений для типовых переменных и ее решение

Этап 1. Без компиляции тела лямбды

Итак, сопоставляем фактические параметры формальным:

array of string ↪ IEn<X>
l1 → l2 ↪ X → IEn<Y>

Для отношения сопоставления фактических параметров формальным используем вместо равенства значок ↪ по направлению от фактического параметра к формальному. Это необходимо, поскольку равенство типов здесь получается лишь во втором случае, а в первом необходимо дополнительно проверять отношение наследования или реализации интерфейса.

Второе соотношение дает уравнение

X → IEn<Y> = l1 → l2

Рассмотрим первое соотношение.

array of string ↪ IEn<X>

Определим все интерфейсы, поддерживаемые array of string и выясним, есть ли среди них интерфейс IEn<Z> для некоторого типа Z Такой запрос в .NET сделать можно. В данном случае ответ - да: array of string поддерживает в частности интерфейс IEn<string>. Генерируем отсюда уравнение:

IEn<X> = IEn<string>

Таким образом, получаем:

IEn<X> = IEn<string>
X → IEn<Y> = l1 → l2

Упрощаем:

X = string 
X = l1 
IEn<Y> = l2

Дальнейшее упрощение приводит к уравнениям:

X = string
l1 = string 
IEn<Y> = l2

Подстановка, которая приводит к такому упрощению, это разумеется

σ [ X ↦ string, l1 ↦ string, l2 ↦ IEn<Y> ]

Для ее получения используется алгоритм модифицированный Хиндли-Милнера, поддерживающий обобщенные интерфейсы и обобщенные классы. Его мы приведем позже.

Заметим, что технологически на данном этапе нам удобно считать l1 и l2 известными и выразить X,Y через l1 и l2. Это связано с тем, что вначале в компиляторе PascalABC.NET выполняется вывод типов X,Y обобщения SelectMany и только затем - вывод параметров лямбды. Поэтому мы поступаем следующим образом: вводим вспомогательный типовый параметр l3 и получаем:

X = string
Y = l3 
l1 = string 
IEn<l3> = l2

Таким образом, X и Y выражены через конкретные типы или типы параметров лямбды или вспомогательные, и у нас остается система уравнений только относительно параметров лямбды и вспомогательных:

l1 = string 
IEn<l3> = l2

Данный этап закончен. Не привлекая тип тела лямбды, ничего получить нельзя.

Этап 2. Компиляция тела лямбды

Используем тип тела лямбды. Для этого заметим, что если лямбд-параметров - несколько, то обязательно должна найтись одна, у которой на данном этапе все типы ее параметров (не тип возвращаемого значения!) - являются конкретными типами.

Для нее и вычислим тип тела лямбды. Если он не может быть вычислен с этими типами параметров лямбды, то - ошибка. В данном случае лямбда имеет вид:

x->x.Split()

и на данный момент известно, что

x: string

Поэтому тип возвращаемого значения лямбды вычисляется однозначно:

array of string

Заметим, что мы не можем написать для составного типа равенство и должны использовать тот же значок ↪ сопоставления фактического параметра формальному:

array of string ↪ IEn<l3>

Этот значок означает, что array of string в качестве типа возвращаемого значения лямбды можно подставить вместо формального параметра IEn<l3>. Получим отсюда дополнительное уравнение. Поскольку array of string реализует интерфейс IEn<string>, то

IEn<l3> = IEn<string>

Упрощаем:

l3 = string

Добавляем в систему:

l1 = string 
l2 = IEn<l3>
l3 = string

В итоге получаем:

l1 = string 
l2 = IEn<string>
l3 = string

Теперь вернемся к X и Y и вспомним, что Y = l3. В итоге получим:

l1 = string 
l2 = IEn<string>
l3 = string
X = string
Y = string 

Все типы выведены - ура. Данные равенства по-существу задают подстановку, которая унифицирует нашу систему уравнений:

σ [ X ↦ string, Y ↦ string, l1 ↦ string, l2 ↦ IEn<string> ]

Замечание. Тип возвращаемого значения l2 лямбды можно сузить и положить равным array of string

Замечание. Для общности array of string можно записывать как Array<string>

Модифицированный алгоритм Хиндли-Милнера

Алгоритм Хиндли-Милнера вывода типов и получения наиболее общего унификатора в своей основе имеет алгоритм унификации, рекурсивно вычисляющий подстановку. Базовый алгоритм описан в Пирсе на с.350.

Приведем его в нашем случае.

Пусть X - типовая переменная, S,T - типовые выражения, V - вектор типовых переменных.

Алгоритм унификации

Пусть C - исходная система уравнений на типовые переменные, X - типовая переменная, S,T - типовые выражения, V - вектор типовых выражений (например, для List<IEn<T>,List<int>> V = (IEn<T>,List<int>)), функция unify(C) возвращает подстановку. Обозначим также через FV(T) множество типовых переменных в типе T.

unify(C) 
{
  если C = ∅ , то 
    return []
  иначе 
  {
    Выделим из C первое уравнение: S = T. 
    Пусть { S = T } ∪ C' = C
    Eсли S = T
     то return unify(C')
    если S = X и (X ∉ FV(T) или X на внешнем уровне является классом или интерфейсом)
     то return unify([X ↦ T]C')•[X ↦ T])
    если T = X и (X ∉ FV(S) или X на внешнем уровне является классом или интерфейсом) // симметрично предыдущему
     то return unify([X ↦ S]C')•[X ↦ S])
    если S = S1 → S2 и T = T1 → T2
      то return unify(C' ∪ {S1 = T1, S2 = T2})
    Если S = C<V> и T = C1<V1> и С = С1 и |V| = |V1| 
      то return unify(C' ∪ {V = V1})
    Если S = I<V> и T = I1<V1> и I = I1 и |V| = |V1| 
      то return unify(C' ∪ {V = V1})
    Если ни по одной ветке до этого не вышли
      то return неудача
  }

После вывода всех типов их надо подставить во внешний контекст (в секцию where) и проверить, удовлетворяются ли эти условия